A.
Pengertian
Isometri
Isometri adalah suatu transformasi atas Refleksi
(pencerminan), Translasi (pergeseran), dan Rotasi (perputaran) pada sebuah
garis yang mempertahankan jarak (panjang suatu ruas garis).
Teorema 3.1:
Setiap refleksi pada garis adalah suatu
transformasi. Jadi
refleksi struktur tubuh kupu-kupu dan manusia terhadap sumbu simetri / sumbu
pencerminannya merupakan suatu tranformasi.
Suatu
pencerminan pada garis mengawetkan jarak
Misal:
A = bahu kanan manusia
B = ujung jari tengah tangan
kanan manusia
A’ = Ms(A) = bahu kiri
manusia
B’ = ujung jari tengah tangan
kiri manusia
Jadi
jarak antara AB = A’B’ yaitu jarak antara bahu dan ujung jari tengah tangan
kanan manusia sama dengan jarak antara bahu dan ujung jari tengah tangan kiri
manusia.
Suatu
transformasi T adalah isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan
titik-titik P dan Q,
P' Q' = PQ
Dengan
P' = T (P) dan Q' = T (Q)
Transformasi
U merupakan Isometri bila dan hanya bila pasangan titik P dan Q dipenuhi P’Q’ =PQ
dengan P’ = U (P) dan Q’ = U (Q).
Contoh : pencerminan
P U(P) P’
Q U(Q) Q’
Misalkan T suatu transformasi, transformasi T
ini disebut isometric jika dan hanya setiap pasangan titik P dan Q anggota dari
bidang Euclid V berlaku 
dimana 
dan
dimana dan 
A. Sifat-sifat Isometri
Suatu
isometri memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
a. Memetakan
garis menjadi garis
b. Mempertahankan
ukuran besarnya sudut antara dua garis
c. Mempertahankan
kesejajaran dua garis
Bukti:
a.
Memetakan garis menjadi garis
Andaikan g sebuah garis dan T suatu
isometri. Kita akan membuktikan bahwa T(g)=h adalah suatu garis juga.
|
|||
 |
|||
B B’
A A’
g h
Ambil A є g dan B є g. maka A’=T(A) є h, B’=T(B) є h melalui A’
dan B’ ada satu garis. Misalnya h’
Ambil
sebarang isometri T dan garis g akan di tunjukan bahwa T(g) berupa sebuah
garis. Perhatikan gambar ambil dua titik sebarang A dan B pada garis g misalkan
T(A) = A1 dan T(B) = B1 dan garis lurus menghubungkan A1
dan B1 adalah H
 |
|
||||
 |
|||||
A A1
B B1
g T(g)
Untuk ini akan dibuktikan h’ Ì h
dan h Ì h’
Bukti h’ Ì h
Ambil X’ є
h’. oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides, maka kita andaikan (A’ X’
B’), artinya A’ X’ + X’ B’= A’ B’. oleh karena T suatu isometric. Jadi suatu
transformasi maka ada X sehingga T (X) = X’ dan oleh karena T suatu isometric
maka AX=A’X’ ; begitu pula XB=X’B’. jadi pula AX+BX=AB
Ini berarti
bahwa A, X, B segaris pada g
Ini berarti
lagi bahwa X’=T(X) є h.
Sehingga h’Ì h sebab bukti serupa berlaku untuk posisi X’ dengan (X’ A’ B’)
atau (A’ B’ X’)
Bukti h Ì h’
Ada lagi Y’
є h
Maka ada Y
є g sehingga T(Y)=Y’ dengan Y misalnya (A Y B), artinya Y є g dan AY+YB = AB.
Oleh karena T sebuah isometric maka A’Y’= AY, Y’B’= AB. Sehingga A’Y’+Y’B’ =
A’B’. Ini berarti bahwa A’, Y’, B’ segaris, yaitu garis yang melalui A’ dan B’.
Oleh karena
h’ satu-satunya garis yang melalui A’ dan B’ maka Y’ h’.
Jadi
haruslah Bukti h Ì h’
Bukti serupa berlaku untuk keadan (Y A B) atau (A B Y) sehingga h=
h’. jadi kalau g sebuah garis maka h = T(g) adalah sebuah garis.
b. Mempertahankan ukuran besarnya
sudut antara dua garis
Isometric
mempertahankan besar sudut.
Bila ∆
ABC 
A’B’C’
A’B’C’
Jawab:
Perhatikan
∆ABC dan ∆A’B’C’
Karena U isometric berarti A’B’=AB
A’C’=AC
B’C’=BC
Karena sisi, sisi, sisi berarti 
Akibatnya 
Jadi
isometri mempertahankan besar sudut.
Ambil sebuah Ð ABC
Andaikan
A’= T(A), B’=T(B), C’=T(C)
Menurut
(a), maka A’B’ dan B’C’ adalah garis lurus
Oleh
karena Ð
ABC = BABC maka Ð
A’B’C’ = B’A’ È
B’C’ sedangkan A’B’ = AB, B’C’ = BC, C’A’ = AC
Sehingga
∆ ABC = ∆ A’B’C’. jadi Ð A’B’C’ = Ð ABC
Sehingga
suatu isometri mempertahankan besarnya sebuah sudut.
c. Mempertahankan Kesejajaran
Isometri
mempertahankan kesejajaran.
 |
Jika g // h→ g’ // h’
dengan g’ = U(g)
h’ =
U(h)
Bukti :
Diketahui g // h sejajar
g’ = U(g) dan h’ = U(h)
Andaikan g’ tidak
sejajar h’
Berarti ada titik
potong P’ = titik (g’, h’)
 |
U
isometri, maka terdapat P→P’ = U(P)
P’
terletak pada g’ maka haruslah P terletak pada g.
P’
terletak pada h’ maka haruslah P terletak pada h.
Jadi
g dan h berpotongan di P, kontradiksi dengan g // h.
Sehingga
pengandaian diingkarkan berarti g’ // h’.
Jadi isometri mempertahankan
kesejajaran.
Kita
harus memperlihatkan bahwa a’ ⁄⁄ b’
Andaikan
a’ memotong b’ disebuah titik P’ jadi P’ є a’ dan P’ є b’. oleh karena T sebuah
transformasi maka ada P sehingga T(P) = P’ dengan P є a dan P є b.
Ini
berarti bahwa a memotong b di P ; jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa
a ⁄⁄ b
Maka
Pengandaian bahwa a’ memotong b’ SALAH
Jadi
haruslah a’ ⁄⁄ b’
A.
Isometri Langsung dan Isometri Lawan
Suatu Transformasi T disebut langsung jika dan hanya jika
transformasi itu mempertahankan orientasi. Isometri langsung adalah tidak mengubah orientasi
(tetap),Jadi dalam isometric langsung. Apabila orientasi positif tetap positif sedangkan orientasi negative tetap
negatif.
Sedangakan Transformasi T disebut transformasi lawan jika dan
hanya jika transformasi itu mengubah arah orientasi. Isometri lawan adalah mengubah orientasi positif
jadi negatip (kebalikan).
Dikatakan berorientasi
positif apabila perputarannya berlawanan arah dengan jarum jam. Dikatakan
berorientasi negative apabila perputarannya searah dengan perputaran jarum jam.
Contoh
22.
Misalkan diberikan
enam buah titik (lihat gambar 2.4). karena urutna perputaran A, B, ke C
berlawanan dengan perputaran jarum lonceng maka (A, B, C) berorientasi positif.
Sedangkan urutan perputaran P, Q, ke R sesuai dengan perputaran jarum lonceng
akibatnya (P, Q, R) berorientasi negative.
Definisi 2.3
Misalkan T suatu transformasi T disebut mengawetkan orientasi
apabila untuk setiap ganda tiga titik (P1,
P2, P3) yang tidak kolinear orientasinya sama dengan
orientasi dari petanya. Sedangkan lainnya disebut tidak mengawetkan orientasi.
Contoh
2.3
Apabila anda
prhatikan trnasformasi yang ditetapkan dalam contoh 2.1. sudah ditelusuri bahwa
transformasi T ini merupakan suatu isometric. Apakah T ini mrupakan isometric
langsung atau isometric lawan ?untuk menarik kesimpulan ini perhatikan gambar
2.5. Mislakan anda ambil tiga titik atk kolinear sembarang. A, B, dan C.
kemudian mencari T(A), T(B), dan T(C) = B’ dan T(C) = C’
Karena (A, B, C) berorientasi positif, sedangkan (A`, B`, C`)
berorientasi negatif, maka transformasi
T merupakan transformasi lawan. Akibatnya T suatu isometri lawan.
Perhatikan gambar di bawah ini, anda melihat suatu
transformasi T yang menunjukan segitiga ABC pada segitiga A1B1C1
misalnya sebuah pencerminan pada garis g.
Untuk lebih jelas
perhatikan gambar berikut:
Gambar
1 (mengubah orientasi)
Gambar
2 (mengawetkan orientasi)
Tampak bahwa apabila pada segitiga ABC,
urutan keliling A→B→C adalah berlawanan dengan putaran jarum jam maka pada
petanya, yaitu segitiga A1B1C1, urutan
keliling A1→B1→C1 adalah sesuai dengan putaran
jarum jam. Pada gambar di atas anda lihat juga suatu isometric, yaitu rotasi
(putaran) mengelilingi sebuah titik O.
Jika ada segitiga ABC urutan keliling
A→B→C adalah berlawanan arah dengan putaran jarum jam maka pada petanya yaitu
pada segitiga A2B2C2 urutan keliling A2→B2→C2
tetap berlawanan dengan putaran jarum jam.
Definisi:
1) Suatu
transformasi T mengawetkan suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik tak
segaris (P1, P2, P3) orientasinya sama dengan
ganda (P’1, P’2, P’3) dengan P’1 =
T(P1), P’2 = T(P2), P’3 = T(P3).
2) Suatu
transformasi T membalik suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik yang
tak segaris (P1, P2, P3) orientasinya tidak
sama dengan orientasi peta-petanya (P’1, P’2, P’3)
dengan P’ = T(P1), P’2 = T(P2), P’3
= T(P3)
Definisi
:
Misalkan ( P, Q, R ) adalah ganda tiga titik yang koliniear
(tidak segaris). Apabila urutan perputaran P, Q, R sesuai dengan perputaran
jarum jam maka P, Q R di sebut memiliki orientasi negatif. Sedangkan apabila
urutan perputaran P, Q, R berlawanan dengan arah perputaran jarum jam maka P,
Q, R memilki orientasi positif
Definisi
:
Misalkan T suatu transformasi. T disebut mempertahankan
orientasi apabila untuk setiap ganda tiga titik A, B, C yang kolinear
orientasinya sama dengan orientasi dari petanya. Sedangkan lainnya disebut
mengubah orientasi.
Suatu
transformasi T yang memetakan segitiga ABC pada segitiga A1,B1,C1 misalkan
sebuah pencerminan pada garis g.
v
Untuk lebih jelas perhatikan gambar berikut :
ü
Setiap refleksi (pencerminan) pada garis adalah
suatu isometric lawan
Gambar
(A B C) Berlawanan arah dengan perputaran jarum jam(memiliki orientasi
positif)sedang, Gambar (A1,B1,C1) Sesuai dengan putaran jarum jam (memiliki
orientasi yang negative).
ü Isometri
langsung adalah tidak mengubah orientasi (tetap), Jadi dalam isometric langsung
apabila orientasi positif tetap positif sedangkan orientasi negative tetap
negatif. Perhatikan gambar isometric langsung di bawah ini:
v Dikatakan
berorientasi positif apabila perputarannya berlawanan arah jarum dengan jarum
jam.
v Dikatakan
berorientasi negative apabila perputarannya searah dengan perputaran
jarum jam.
ü
Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung
atau sebuah isometri lawan.
1. Perhatikan
transformasi yang ditetapkan dalam gambar di bawah ini,sudah ditentukan bahwa
transformasi T ini merupakan suatu isometri. Pertanyaan
yang timbul apakah T ini merupakan isometric langsung atau isometric lawan?
Penyelesaian:
Misalkan ambil tiga titik koliner sebarang, A,B,dan C.
Kemudian kita cari
T(A), T(B), dan T(C).
Misalkan : T(A)=A1,
T(B)=B1, dan T(C)=C1.
Kerena (A,B,C)
berorientasi positif,sedangkan (A1, B1, C1)
berorieantasi negatif, maka transformasi T merupakan transformasi lawan.Akibatnya
T suatu isometri lawan .
2. Ditentukan
T((x, y)) = (x+1, y-5). Selidiki apakah T isometri.
T((x, y)) → (x’,
y’) dengan
Ambil titik
Sehingga :
Karena
A’B’=AB maka T merupakan isometri.
sumber:
Rawuh, 1993. Geometri Transformasi. Bandung
: Perpustakaan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan.
0 komentar:
Posting Komentar