ESTIMASI
TITIK
A.
Estimasi
Titik
Rasional dibalik
estimasi titik sangat sederhana. Bila sampling berasal dari populasi yang
digambarkan melalui densitas
, pengetahuan tentang
menghasilkan karakteristik mengenai
keseluruhan populasi. Oleh karenanya sangat masuk akal untuk mencari metode
untuk mendapatkan estimator yang baik untuk
. Dalam banyak kasus, kita juga mempunyai
kepentingan untuk mengestimate fungsi dari
, katakanlah
ini berarti metode pencarian estimator
juga menjadi perhatian kita.
Definisi:
Suatu
estimator titik adalah sebarang fungsi T(X1,X2,…,Xn)
dari sampel. Ini berarti sebarang statistik adalah estimator titik.
Perhatikan
bahwa terdapat perbedaan antara estimate dan
estimator. Suatu estimator adalah fungsi sampel,
sedang estimate adalah nilai
terealisasi dari estimator yaitu
bilangan yang didapat bila sampel benar-benar diambil. Secara otasi, bila
sampel diambi, estimator adalah fungsi variable random X1,X2,…,Xn sedang estimate adalah
fungsi dari nilai-nilai terealisasi
.
Disimpulkan
bahwa estimasi adalah taksiran dan yang diestimasi adalah parameter populasi.
Data yang digunakan untuk melakukan estimasi parameter populasi adalah
statistik sampel sebagai estimator. Pada estimasi titik, hasil estimasi adalah
satu nilai parameter (sama dengan nilai statistik).
|
StatistikSampel
|
|
Parameter Populasi
|
B.
MetodeMomen
Metode momen
yang diciptakan oleh Karl Person pada tahun 1800 adalah metode tertua dalam
menentukan estimator titik.
Misalkan X1,X2,…,Xn adalah
sampel populasi dengan densitas
Estimator metode momen dapat didapat dengan
menyamakan k momen sampel pertama
pada k momen sampel populasi dan
menyesuaikan sistem persamaan simultan
yang dihasilkan. Lebih tepatnya, untuk t=1,…,k
definisikan
|
|
t=
1, 2, 3,..., k
Untuk diskrit :
Untuk kontinu :
Momen populasi
biasanya merupakan fungsi dari
katakanlah
). Estimator metode momen
dari
) didapat dengan menyelesaikan sistem
) dalam bentuk
).
Contoh 2.1:
MisalkanX1,…,Xn adalah i.i.d binomial (k, p), yaitu,
Disini diandaikan bahwa k dan
p kedua-duanya tidak diketahui.
Dengan menyamakan dua momen sampel pertama dan momen populasi didapat
sistem persamaan
Yang harus diselesaikan untuk k dan
p.
Hasilnya
dan
C.
Metode
Maksimum LIKELIHOOD
Metode yang terbaik
untuk menentukan penaksiran titik sebuah parameter adalah metode kemungkinan
maksimum.
Misalkan X adalah peubah acak
kontinu(atau diskrit) dengan fungsi kepadatan peluang
, dengan
adalah sebuah parameter yang tidak diketahui.
Misalkan X1, X2, …,
Xn merupakan sampel acak berukuran n maka fungsi kemungkinan (likelihood fuction) dari sampel acak itu
adalah:
Dalam hal ini, fungsi
kemungkinan adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui
. Biasanya untuk memudahkan
penganalisisa, fungsi kemungkinan
diberi ln.
Penaksiran kemungkinan
maksimum dari
adalah nilai
yang memaksimumkan fungsi kemungkinan
D.
ESTIMATOR
BAYES
Misalkan X1, X2,...,Xn merupakan
sebuah sampel acak berukuran n dari distribusi yang mempunyai fungsi kepadatan peluangberbentuk
f (x ; 𝜽),
𝜽
dalam hal ini,
kita akan menentukan taksiran Bayes untuk parameter 𝜽.
Langkah-langkah
untuk menentukan taksiran Bayes bagi 𝜽adalah:
1. Tentukan
fungsi kepadatan peluang gabungan dari X1, X2,..., Xn
(dinotasikan) dengan g (
) yang didefinisikan sebagai berikut :
g(
;𝜽)
= f (x1 ; 𝜽).
f (x2 ; 𝜽),
... f (xn ; 𝜽)
DAFTAR
PUSTAKA
Herryanto, Narr. 2003. Statistika Matematis Lanjutan. Bandung:
CV. Pustaka Setia
Herryanto, Narr dan Tuti Gantini. 2009. Pengantar Statistika Matematisi.
Bandung: CV. Yrama Widya
Subanar. 2013. Statistika Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu
